20.09.16 高2 - 授業の記録など

今日のテーマは『2次方程式の解と係数の関係』です。

例として $2+\sqrt{6\,}$ と $2-\sqrt{6\,}$ を解とする2次方程式を考えてみましょう。

まず $\alpha = 2+\sqrt{6\,},\ \beta= 2-\sqrt{6\,}$ とおくと、

$\require{color}(x -\alpha)(x -\beta) = 0$ より、 $x-(\textcolor{blue}{\alpha +\beta})x +\textcolor{red}{\alpha\beta} = 0$

です。
一方で、

$\require{color}\begin{cases} \textcolor{blue}{\alpha +\beta} = (2 +\sqrt{6\,}) +(2 -\sqrt{6\,}) =\textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{\alpha\beta} = (2 +\sqrt{6\,}) (2 -\sqrt{6\,}) = \textcolor{red}{-2}\end{cases}$

です。
したがって， $2+\sqrt{6\,}$ と $2-\sqrt{6\,}$ を解とする2次方程式のひとつは

$\require{color}x^2 -\textcolor{blue}{4}x \textcolor{red}{-2} = 0$

と求まります。

ちょっと回りくどい書き方ですが、2次方程式の

$x$ の係数には解の和

定数には解の積

の情報が含まれていることがわかります。これを一般化したものが解と係数の関係です。

このように具体的な2次方程式から考えてみると、ずいぶん当たり前のように感じます。

定理や公式としてまとめられるとまずそれを覚えようとしがちですが、原理を納得して練習すればわざわざ覚えなくても身につけられるのではないでしょうか。