定期試験が終わると、どこの学校でも間違えた問題をやり直したノートを提出することになっているようです。試験が終わったあとにできなかったところを見直すのはとても大切なことです。が、どのくらいそれが効果的にできてるのか、少し心配になりました。「…

対数の定義とその性質について確認しました。「を何乗するとになるか」という問いから始めます。これは「をみたすの値は何か」と言い換えることもできます。このの値の存在は指数関数のグラフから確認でき、との間にあることもわかります。しかしその値は具…

期末試験をはさんで図形と方程式。はじめに試験の答案を見ながら「図形の問題なので計算に走る前に図をかいて状況を整理しましょうね」というようなお話をしたり、今回の反省点を聞くなど。 授業はふたつの円の位置関係と軌跡の基本。 円は「とにかく定義を…

前半はふたつの円の位置関係と束についての問題。後半は軌跡の基礎。軌跡は「どんな図形になるか」を考えるので、それまでの「図形がはっきりわかっていて、それらの性質を使う問題」よりも難しくなります。 図形を表す式は「図形上の点の座標と座標がみたす…

下書きのまま更新するのを忘れていました…。1問目は空間ベクトル(鹿児島大2019年度)。(1)は点と点を通る直線上の点の座標。(2)は球と直線が共有点をもつ条件。点と球面の関係に注目。(3)は点と点との中心で作られるの面積。ベクトルでの表現も「底辺×高さ×1/…

いずれも試験範囲の内容について演習。

図形と方程式。前回に引き続き円と直線の関係について。こんな問題を扱いました。点を通り，円に接する直線の式と，接点の座標をそれぞれ求めよ．点を通る円の接線をかいてみると下図のようになります。 つまり、は2本あって、そのうち1本の式はで接点の座標…

11.09 高2 図形と方程式。円の定義と性質から円と直線の位置関係について。「円の中心から直線までの距離」と「半径」の大小関係に注目する。 11.11 高2 平面ベクトル。ベクトル(数の組)を平面上の2点間の移動に対応させて図形に応用しましょうという話から…

11.02 高2 図形と方程式。内分点外分点、直線の傾き、点と直線の距離。 11.04 高2 図形と方程式。円を表す式、円と直線の位置関係、円の接線の式。円の定義から考える。 11.05 高1 図形の性質。円周角、円に内接する四角形の性質。定理を飛び飛びに覚えず、…

テーマは直線の傾きでした。 直角三角形と相似(つまり比)の出番です。中学校で学んだ図形の性質が活かせると無駄な計算が省けます。 点と直線の距離の公式も直角三角形の相似を利用して確認しました。原理を理解していれば公式を忘れても導けますし、そもそ…

テーマは数学的帰納法。 原理を確認して、いくつか問題を解きました。「証明の流れ」はわかっていても何を仮定して何を示すのかが見えてないと手が止まります。具体的な値で試すときに、前後の繋がりを見ておくとよいでしょう。 問題解決のヒントは「こうす…

2013年度千葉大、2018年度法政大、2016年度秋田大(2)まで。 複雑に思えてもひとつずつ固定して書き出しましょう。書き出しましょう(大事なことなので2度書きました)。

今回はメネラウスの定理からチェバの定理。 線分の比なので平行線が隠れているよね、という話をしながらメネラウスの定理を確認。チェバの定理はメネラウスの定理を2回使えば示せます*1。問題を解いて慣れることも必要ですが、その背景にあるものを見ておく…

前回やり残した数学的帰納法による不等式の証明をして、図形と方程式に入りました。「図形を座標平面上で考えよう」という単元です。座標のおかげで直線や円などの図形を方程式や不等式で表現できるわけですね。方程式や不等式はある程度機械的に処理できる…

テーマは整数の性質。長崎大2020年度、金沢大2016年度など。 他の単元に比べて自由度が高く見えて難しく感じる子が多い印象です。「問題を解く手順」を覚えようとすると確かにそうかもしれません。しかし、整数が持っている性質を理解して「手順の目的」に目…

まず前回に引き続き2次不等式。 2次不等式の解がすべての実数となる条件を求める問題。 言葉と式と図、それぞれの表現を行ったり来たりしましょう。後半は図形の性質。角の2等分線と比について証明を確認しました。 中学で学んだ「平行線と角の大きさ」や「…

今日は数学的帰納法について。 数学的帰納法の原理を確認していくつか例題を解きました。 「何を仮定して、何を示したいのか」ということをはっきりと意識しないと、途中で止まってしまいます。これに限らず、目的を持って解き進めていきたいですね。

前回の復習の後、をみたす数列の一般項を求める問題。 と具体的な値で試していきました。そして、これまでの応用として や、 などの漸化式を扱いました。 どちらもうまく工夫してより解きやすい数列を作りますが、等差数列や等比数列の階差の特徴を知ってお…

まず群数列。2018年度関西大の問題を解きました。 群数列はもとの数列と各群の個数についての数列のふたつが絡み合ってややしく感じます。でもそんなときこそ 具体的な小さい値で試す ことが重要になります。いきなり一般的な形や大きな数を相手にすると大変…

中間試験が開けて最初の授業。今日のテーマは2次不等式でした。 この単元に限らず「関数のグラフを方程式や不等式に利用する」というのはとても大事なことです。 の方程式の解とのグラフの切片や、 の不等式の解とのグラフにおいて座標が正となるようなの範…

今日は2つのタイプの漸化式を扱いました。ひとつめは 要するに隣り合うふたつの項の差(階差)がわかっているので、それらを足し合わせればよいわけですね*1。ふたつめは こちらはという漸化式をみたすもののうち*2、定数数列になるものを見つけるのがポイント…

まずは前回やりきれなかった面積の問題を。弘前大の2017年度の問題を解きました。 座標平面上の4点を頂点とする正方形を放物線で分割してできる2つの図形のうち点を含む図形の面積について考えます。 放物線がの値によって変化するので、いろんな場合の図を…

月曜クラスの数列1回目。 基本事項をいくつか確認しましたが、とにかく具体的に書き出すことが大事だなと改めて思いました。記号やら公式やらに振り回されないようにしたいですね。

高1は2次関数の最大値最小値の続きと、2次関数の決定について。個々の問題よりもまずは関数の特徴をしっかり押さえておくことが大事です(毎回言ってる)。そのうえでいろんな問題にあたりましょう。高3は微分積分。ひとつめは岡山大2017年度。計算する前にグ…

先週やった2次方程式の解と係数の関係のおさらいをしました。 重要なのはその原理であって、そこがきっちり抑えられていれば結果は簡単に導けるのでわざわざ覚える必要はありません。また、3次方程式の解と係数の関係も同様の原理で導けることがわかります。…

テーマは『条件付き確率』でした。 まず、条件付き確率の定義を以下のような簡単な例で確認しました。100人の人を「男・女」と「メガネをかけている・かけていない」で分類した結果、下の表のようになったとします。表内の数は人数です(例えば、左上の「16」…

先週で数ⅠAⅡBの単元ごとの確認が一通り終ったので*1、今週からはそれらを踏まえて入試問題を解き進める力を鍛えていきます。今日扱った問題のひとつです。とし，とおく．このとき，次の問いに答えよ．(1) 2次方程式 が正の重解をもつための条件を求めよ． (2…

2次関数の2回目です。 今日のテーマは『最大値・最小値』。 2次関数の単元での大きな目標の一つは「グラフを用いて考えらるようになること」です。授業の最後に場合分けをして考える問題を扱いました。参考書などには「場合分けをして考える」などと書かれて…

今日のテーマは『2次方程式の解と係数の関係』です。例としてとを解とする2次方程式を考えてみましょう。まずとおくと、 より、 です。 一方で、 です。 したがって，とを解とする2次方程式のひとつは と求まります。ちょっと回りくどい書き方ですが、2次方…

確率の2回目です。前回と同様、「確率ってなんだろう」という話からはじめました。 授業では毎回のように定義のおさらいをします。 定義に基づいて考えられるようになりましょう。定義が理解できればほとんど終わったようなものなのですが、 今回は特別なも…