20.10.05 高2 - 授業の記録など

今日は2つのタイプの漸化式を扱いました。

ひとつめは $\begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}-a_n=4^n\end{cases}$
要するに隣り合うふたつの項の差(階差)がわかっているので、それらを足し合わせればよいわけですね*1。

ふたつめは $\begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}=2a_n-1\end{cases}$
こちらは $a_{n+1}=2a_n-1$ という漸化式をみたすもののうち*2、定数数列になるものを見つけるのがポイントです。

どちらも基本的な漸化式です。しっかり原理を納得してほしいです。

*1: $a_{n+1}=a_{n}+4n$ として $a_2,\ a_3,\ \cdots$ を求めてみるとよくわかると思います

*2:漸化式だけでは数列は一つに定まりません。 $a_1$ をいろんな値にして試してみるとよいでしょう。