20.10.02 高3 - 授業の記録など

まずは前回やりきれなかった面積の問題を。弘前大の2017年度の問題を解きました。
座標平面上の4点 ${\text O}(0,0),\ {\text A}(1,0),\ {\text B}(1,1),\ {\text D}(0,1)$ を頂点とする正方形 $\text{ABCD}$ を放物線 $y=a^2x^2\ (a>0)$ で分割してできる2つの図形のうち点 ${\text C}$ を含む図形の面積 $S_1$ について考えます。
放物線が $a$ の値によって変化するので、いろんな場合の図をかいて放物線と正方形の交わり方について調べました。すると $S_1$ を求める方法が変わることだけではなく、 $a$ が大きくなるにつれ $S_1$ は $1$ から $0$ に向かって単調に減少していくこともわかります*1。
こういう分析をした上で計算を進めると、導いたものが妥当かどうかの確認もできます。

後半は数列です。基本的な漸化式について確認して、関西学院大2018年度の問題を解きました。
この問題の前半では $a_1=\displaystyle \frac{3}{2},\ a_{n+1} =\displaystyle \frac{3a_n-2}{2a_n-1}$ という漸化式を $b_n =\displaystyle \frac{1}{a_n-1}$ とおいて $\{a_n\}$ の一般項を導きます。
こういう置き換えをすると、自分が何をやっているか見失ってしまうようです。ただ指示に従うだけだとそうなるかもしれません。「何のためにそうするのか」を考えて、足元を確かめながら進めたいですね。そのためにも基本的な漸化式の意味(解き方ではない)をちゃんと理解しておきましょう。
ちなみに上の漸化式は $a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$ あたりまで求めてみると一般項が予想できます。さらに $a_1$ から $a_5$ の値をもとに $b_1$ から $b_5$ まで計算してみると、誘導の意味も理解できます。こういった分析が問題の見通しをよくしてくれます。

*1: $1$ や $0$ になることはありません